دوره 47 شماره زمستان 1394 صفحه 71 تا 8 Vol. 47, No., Wintr 015, pp. 71-8 نشریه علمی ی امیرکبیر )مهندسی مکانیک( AmirKabir Jounrnal of Scinc & Rsarch (Mchanical Enginring) (ASJR-ME) تحليل عددي و تجربي ارتعاشات آزاد تیرکمانهشده * پیمان جمشیدی مقدم 1 شاپور مرادی 1- کارشناس ارشد مهندسی مکانیک شرکت آب جنوب شرق خوزستان - دانشیار گروه مکانیک دانشکده مهندسی دانشگاه شهید چمران اهواز )دریافت: 139/1/ پذیرش: 1393/1/10( چکیده در این ارتعاشات آزاد تیر کمانهشده به کمک روش کوادراتور دیفرانسیلی و تحلیل مودال تجربی بررسی شده است. ابتدا معادالت حاکم بر مسئله ارتعاشات تیر کمانهشده در مختصات مماسی بدست آمدهاند. این معادالت یک دستگاه معادالت دیفرانسیلی غیرخطی را تشکیل داده که پاسخ آن مجموع پاسخهای استاتیکی و دینامیکی است. به منظور حل دستگاه معادالت دیفرانسیل غیرخطی استاتیکی ابتدا معادالت با روش کوادراتور دیفرانسیلی گسسته شده سپس دستگاه معادالت جبری غیرخطی با استفاده از روش طول قوس حل میشوند. همچنین با توجه به کوچکتر بودن دامنه حرکت ارتعاشات آزاد تیر نسبت به دامنه حرکت استاتیکی معادالت ارتعاشی خطی شدهاند. برای حل دستگاه معادالت دیفرانسیل ارتعاشی خطی شده معادالت با روش کوادراتور دیفرانسیلی گسسته شده و مقادیر بدست آمده از حل معادالت استاتیکی در دستگاه معادالت گسسته شده دینامیکی جایگذاری شده است. در پایان با حل مسئله مقدار ویژه استاندارد فرکانسهای طبیعی و شکل مودهای تیر کمانهشده بدست آمده برای بررسی درستی روش ارائه شده نتایج حاصل با نتایج بدست آمده از روش اجزاء محدود )به کمک نرم افزار ) و دادههای تجربی حاصل از انجام تعدادی آزمایش بر روی تیر کمانهشده ساخته شده از پی وی سی مقایسه شدند. نتایج بدست آمده نشاندهنده دقت قابل قبول و کارایی روش پیشنهادی است. کلمات کلیدی: ارتعاشات تیر پسکمانش روش کوادراتور دیفرانسیلی تحلیل مودال تجربی * نویسنده مسئول و عهده دار مکاتبات: Email: morais@scu.ac.ir
کمانهشده تیر آزاد ارتعاشات تجربي و عددي تحليل 1-1 مقدمه مسئلهای غیرخطی هندسه به توجه با کمانهشده تیر ارتعاشات بررسی استفاده بسیاری متفاوت روشهای از محققین رو این از است. دشوار هب را کمانهشده تیر ارتعاشی 1 مودهای ]1[ همکاران و نایفه نمودهاند. شکل گرفتن نظر در با آنها کردند. بررسی آزمایشگاهی و تحلیلی صورت برای دقیقی حل کمانشی مود nامین با متناظر کمانهشده تیر استاتیکی استفاده به توجه با ولی آورند بدست کمانهشده تیر فرکانسهای و مودها ارتعاشات بررسی به قادر آنها توسط شده ارائه روش کمانشی مود شکل از ][ همکاران و پاتل نیست. بحرانی بار از بزرگتر خیلی بارهای تحت تیر الیه چند ارتوتروپیک تیر پسکمانش و غیرخطی آزاد خمشی ارتعاشات روابط استخراج برای آنها نمودند. بررسی االستیک فونداسیون روی بر را دورانی و صفحهای درون اینرسی عرضی برشی شکل تغییر اثر حاکم انرژی جمالت همه مقدار کردن معین برای سپس گرفتند. نظر در را غیرخطی حاکم روابط ادامه در بردند. بکار را دقیق عددی انتگرال کرنشی کردند. حل مستقیم تکرار روش و ویژه مقدار روش ترکیب از استفاده با را با کمانهشده تیر دینامیکی تحلیل برای دقیقی حل ]3[ هانگود و لستاری مسئله متناظر مودهای از استفاده با آنها دادند. ارائه متفاوت مرزی شرایط بیضوی توابع از استفاده با همچنین و مرزی شرایط کننده ارضا خطی آوردند. بدست غیرخطی مسئله برای را طبیعی فرکانسهای ژاکوبی سنگین تیر ارتعاشات و پسکمانش مسئله ]4[ همکاران و سانتیالن تئوری صورت به را پسکمانش تعادل وضعیت حول کم نوسان دامنه با قابل غیر االستیک صورت به را تیر آنها نمودند. بررسی آزمایشگاهی و یا و افقی صلب فوندانسیون روی بر گیردار سر دو صورت به و کشش بکار خود روابط حل برای را شوتینگ روش و گرفته نظر در شیبدار وضعیت حول کوچک دامنه با ارتعاشات ]5[ همکاران و نئوکریچ بردند. و کشش قابل مدل آنها نمودند. بررسی را گیردار سر دو میله پسکمانش نمودند. حل عددی و تحلیلی صورت دو به را کشش قابل غیر برای است. کمانهشده تیر ارتعاشی رفتار بررسی این از هدف مختصات در کمانهشده تیر ارتعاشات مسئله بر حاکم روابط منظور این را غیرخطی دیفرانسیلی معادالت دستگاه یک که آمده بدست مماسی بسیار تیر آزاد ارتعاشات حرکت دامنه اینکه به توجه با میدهند. تشکیل سیستم کلی پاسخ است تعادل( )حالت استاتیکی حرکت دامنه از کوچکتر گرفته نظر در ارتعاشی و استاتیکی حرکت پاسخهاي مجموع صورت به تعادلی حرکت پاسخ میگردند. خطی ارتعاشی دیفرانسیل معادالت و شده میآیند. بدست دینامیکی و استاتیکی روابط حل با ترتیب به ارتعاشی و روابط ابتدا استاتیکی غیرخطی دیفرانسیل معادالت دستگاه حل منظور به معادالت دستگاه سپس و شده گسسته دیفرانسیلی کوادراتور روش با میشوند. حل قوس طول روش از استفاده با منتجه غیرخطی جبری حالت همانند شده خطی ارتعاشی دیفرانسیل معادالت دستگاه حل برای سپس شده گسسته دیفرانسیلی کوادراتور روش با روابط ابتدا استاتیکی گسسته معادالت دستگاه در استاتیکی روابط حل از آمده بدست مقادیر مقدار مسئله یک آمده بدست معادالت دستگاه میگردند. جایگذاری شده ویژه مقدار مسئله به آن تبدیل از پس که میباشد استاندارد غیر ویژه متناظر مودهای شکل و کمانهشده تیر فرکانسهای آن حل و استاندارد نتایج شده ارائه روش سنجی صحت برای ادامه در میآیند. بدست آن با میگردند. مقایسه محدود اجزا مدل و تجربی نتایج با آمده بدست - تئوری معادالت آوردن بدست و کمانهشده تیر آزاد ارتعاشات بررسی برای تحت که h ضخامت و l طول به تیری آن بر حاکم غیرخطی دیفرانسیل میشود. گرفته نظر در است p فشاری محوری نیروی حاکم -- روابط 7[. و میدهد] 6 نشان را تیر کمانش پس مسئله بر حاکم معادالت )1( روابط w n = 1+ sinθ sinθ0 s EA u n = 1+ cosθ cosθ0 s EA θ θ0 EI m 0 s s = m + q = 0 s ( nsinθ) + ( qcosθ) = ρw s s ( ncosθ) ( qsinθ) = ρu s s y n u θ u u + s s m w q q q + s s s w w + s s n n + s s θ θ + s s m m + s s x تیر از جزئی المان یک نیرویی آزاد لکششکشدیاگرام جابجاییهای ترتیب به w و u تیر محور امتداد در متغیری s فوق رابطه در بر مماس خط بین زاویه θ 1(. )شکل هستند y و x راستاهای در تیر 1 Mo Havy bam 1394 زمستان شماره 47 دوره مکانیک مهندسی - امیرکبیر ی علمی نشریه 7
پیمان جمشیدی مقدم شاپور مرادی q و n چرخش اولیه تیر است. θ 0 منحنی تغییر شکل تیر و محور x و به ترتیب نیروهای محوری و برشی و m ممان خمشی است. A سطح مقطع تیر I ممان اینرسی سطح و ρ جرم بر واحد طول است. دو رابطه اول بیانکننده تغییرات جابجایی المانی از تیر به طول s و روابط چهارم پنجم و ششم معادالت ديفرانسيل حركت میباشند. رابطه سوم با فرض االستیک بودن تیر بدست آمده است. در این روابط از اثر تغییرشکل برشی و اینرسی دورانی صرفنظر شده است در صورتی که متغیرها با روابط )( بیبعد شوند روابط )1( به روابط )3( تبدیل میشوند. که ω فرکانس طبیعی سیستم و t زمان است. با توجه به آنکه دامنه حرکت ارتعاشی تیر کمانهشده بسیار کوچکتر از دامنه حرکت استاتیکی است بنابراین میتوان متغیرها را به صورت روابط )4( تعریف نمود ]3[: U( ST, ) = U ( S) + U ( S)sinΩT که اندیس نشاندهنده حالت تعادل و اندیس نشاندهنده حالت دینامیکی میباشد. با توجه به روابط )4( برای حل مسئله ارتعاشی تیر کمانهشده نیاز است که یک بار روابط )3( به صورت استاتیکی حل شده تا مقادیر مربوط به حالت تعادل بدست آیند. با حذف جملههای زمانی از روابط )3( روابط تعادل به صورت رابطه )5( به دست میآیند. با بدست آمدن معادالت حالت استاتیکی جایگذاری روابط )4( در )3( بسط روابط بدست آمده استفاده از فرضیات سادهکننده و با حذف جمالت غیرخطی روابط حاکم بر مسئله ارتعاشات آزاد تیر کمانهشده بدست میآیند. W N = 1+ sinθ sinθ0 K U N = 1+ cosθ cosθ0 K θ M θ0 + M = 0 + Q = 0 ( N θ ) ( Q θ ) sin + cos = 0 ( N θ ) ( Q θ ) cos sin = 0 W N N = 1+ θ cosθ + sinθ K K U N N = 1+ θ sinθ + cosθ K K θ M = 0 M + Q = 0 N sinθ + Nθ cosθ + Q Q = Ω W N cosθ Nθ sinθ Q sinθ + Qθ cosθ = Ω U cosθ θ sinθ -- شرایط مرزی در ارتعاشات آزاد تیرهای دوسرگیردار و دو سر مفصل بررسی میگردد. شرايط مرزي حاكم بر اين تيرها عبارتند از: تیر دو سر گیردار شرایط مرزی استاتیکی تیر دو سرگیردار تحت نیروی محوری P به صورت روابط )7( است. W = 0, U = 0, θ = 0, S = 0 S = 0 S = 0 W = 0, θ = 0, N = P. S = 1 S = 1 S = 1 روابط )7( بیان کننده آن است که ابتدا و انتهای تیر اجازه حرکت در راستای محور y را نداشته و شیب آنها نیز برابر با صفر است. همچنین ابتدای تیر )0=S( اجازه حرکت در راستای محور x را ندارد. انتهای تیر s l u w S =, L = = 1, U =, W =, l l l l Al nl ql ml k =, N =, Q =, M =, I EI EI EI pl t EI ρ P =, T =, Ω= ωl. EI l ρ EI W N = 1+ sinθ sinθ0 K U N = 1+ cosθ cosθ0 K θ θ0 + M = 0 M + Q = 0 ( N sinθ) + ( Qcosθ) = W ( N cosθ) ( Qsinθ) = U W ( S, T ) = W ( S ) + W ( S )sinωt θ( ST, ) = θ ( S) + θ ( S)sinΩT N( ST, ) = N ( S) + N ( S)sinΩT QST (, ) = Q ( S) + Q ( S)sinΩT M( ST, ) = M ( S) + M ( S)sinΩT نشریه علمی ی امیرکبیر - مهندسی مکانیک دوره 47 شماره زمستان 1394 73
کمانهشده تیر آزاد ارتعاشات تجربي و عددي تحليل C ij = ( x x ) p 1 i k ( ) xi x j k i, j( x j xk ) C = C, i,,,3,..., n n i j ii ij p j i i 1 xi = 1 cos π, i = 1,,3,..., n 1 وارد محوری نیروی و بوده دارا را x محور راستای در حرکت اجازه )1=S( از: عبارتند نیز دینامیکی مرزی شرایط میباشد. P با برابر آن بر انتهای رابطه این در که تفاوت این با میباشد )7( رابطه مشابه )8( رابطه ندارد. را x محور راستای در حرکت اجازه نیز تیر مفصل سر دو تیر به P محوری نیروی تحت مفصل سر دو تیر استاتیکی مرزی شرایط دو در تیر که است آن بیانکننده روابط این یباشد. م )9( روابط صورت گشتاور تحمل به قادر و نداشته را y محور راستای در حرکت اجازه انتها را x محور راستای در حرکت اجازه )0=S( تیر ابتدای همچنین نيست. و داراست را x محور راستای در حرکت اجازه )1=S( تیر انتهای ندارد. است: P بار با برابر آن بر وارد محوری نیروی میآیند: بدست )10( روابط صورت به دینامیکی مرزی شرایط و x راستاهای در تیر انتهای و ابتدا حرکت عدم بیانکننده روابط این که خمشی گشتاور تحمل به قادر نيز تیر انتهای و ابتدا همچنین میباشد. y نیستند. استاتیکی روابط 3-3 حل دیفرانسیلی کوادراتور روش از دیفرانسیل معادالت گسستهسازی برای تابع اول مرتبه مشتق دیفرانسیلی کوادراتور روش در میگردد. استفاده مجموع از خطی تركيبي صورت به آن دامنه درون نقطه یک در )اx (اψ میشود] 8 [. نوشته دامنه تمام در تابع وزنی مقادیر C ij و تابع دامنه از iام دقت نقطهی x i دقت نقاط تعداد n p )11( رابطه در iام دقت نقطه در تابع اول مرتبه مشتق آوردن بدست برای وزنی ضرایب رابطه از دیفرانسیلی کوادراتور روش وزنی ضرایب محاسبه برای هستند. است] 9 [. دقت نقاط مختصات از مستقل که شده استفاده )1( جبری نقاط برای چبیشف لوباتو- گوس- چندجملهای ریشههای از همچنين 13(: )رابطه است شده استفاده دقت صورت به را )5( روابط میتوان دیفرانسیلی کوادراتور روش از استفاده با نمود: بیان )14( روابط i ij j = 1+ sinθi sinθ0i i ij j = 1+ cosθi cosθ0i 0 ijθj M i ij j j ij j j j= 1 j= 1 CW C U C θ + = 0 C M + Q = 0, i = 1,,3,, n 1 sinθ + C Q cosθ = 0 cosθ i ij j i p C N C N ij j j N K N K C Q sinθ = 0 ij j j مجهوالت تمامی تعداد گردد گسسته دقت نقطه n p با تیر که آن فرض با که حاکمی روابط تعداد مرزی شرط 6 به توجه با میباشد. 6n p با برابر مسئله مجهوالت تعداد و نیامده بوجود ریاضی تناقض تا شوند نوشته باید نقاط از یکی برای باید بنابراین میباشد. 6n p 6- شوند برابر روابط تعداد با با روابط گسستهسازی از پس شود. نوشته حاکم رابطه نیز تیر مرزی طول روش از استفاده با روابط این دیفرانسیلی کوادراتور روش از استفاده میگردند. حل قوس قوس طول 3-33-3 روش روش از آمده بدست غیرخطی جبری معادالت دستگاه حل منظور به طول روش در میشود. استفاده قوس طول روش از دیفرانسیلی کوادراتور در بار براي ضريبي آن افزايشي مقادير محاسبه و بار كنترل منظور به قوس مقادير مسئله مجهوالت به ضريب اين كردن اضافه با و شده گرفته نظر ميگردد. محاسبه حل حين در مجهوالت از يكي بصورت بار افزايش كرد] 10 [. بيان )15( رابطه با را غيرخطي معادالت دستگاه ميتوان F( x) = λp بردار P و x جابجايي بردار حسب بر غيرخطي معادالت بردار )اx (اF كه كنترل آن توسط شده اعمال بار كه است بار ضريب λ است. ثابت بار p W W = 0, U = 0, θ = 0, S = 0 S = 0 S = 0 = 0, U = 0, θ = 0. S = 1 S = 1 S = 1 U = 0, W = 0, M = 0, W S = 0 S = 0 S = 0 = 0, M = 0, S = 1 S = 1 N cos( θ ) Q sin( θ ) = P. S = 1 S = 1 S = 1 S = 1 U = 0, W = 0, M = 0, S = 0 S = 0 S = 0 U = 0, W = 0, M = 0. S = 1 S = 1 S = 1 ψ x = C ψ ( x ) i = 1,,..., n x = x i ij j p 1394 زمستان شماره 47 دوره مکانیک مهندسی - امیرکبیر ی علمی نشریه 74
مرادی شاپور مقدم جمشیدی پیمان را زير روابط )15( رابطه به نیوتن روش تكراري حل اعمال ميگردد. ميدهد. بدست x به نسبت F بردار اول مشتق از كه است ماتريسي فوق رابطه در K يك طول در iام تكرار نشانگر )17( رابطه در i انديس و شده حاصل تكرار اين در λ ضرايب و x بردارهاي افزايشي فرم ميباشد. بار مرحله بود. خواهند )18( روابط و شکل با مطابق λ = λ + λ + λ لح از كه ميباشد جابجايي - بار منحني روي نقطهاي بيانگر m انديس نقطه اين به قبلي بار مرحله ديگر عبارت به و آمده بدست قبلي بار مرحله افزايشي رابطه گرفتن نظر در با نيوتن روش اساس بر است. شده همگرا میشود. نوشته زير شكل به )16( رابطه )18( ( ) ( ) ( ) ( ) K i u = λp + (( λ m + λ i ) P F( x i )) دانست: زير جزء دو از متشكل ميتوان را Δu جابجايي صورت اين در I II u = λ u + u میآیند. بدست زیر رابطههای از Δu II و Δu I آن در که ( i ) I K u = P ( ) II ( ) ( ) ( ) K i u = (( λ m + λ i ) P F( x i )) به كرد حساب را Δu جابجايي )0( رابطه از استفاده با بتوان که آن برای مقدار این در ميباشد. نياز Δλ مجهول تعيين براي ديگري رابطه ميشود. محاسبه ]11[ الرازبی پیشنهادی روش از Δλ افزايشي مرحله هر در میباشد. مربوطه بار مرحله در قوس طول Δl روابط این در تا شده ارائه روابط اساس بر و تكراري فرآیند يك طي Δλ و Δu بردار بار مرحله طي مسئله حل از ميشوند. محاسبه مطلوب همگرايي به رسيدن يافت. دست سيستم پاسخ به ميتوان متوالي بارهاي دینامیکی روابط 4-4 حل از مسئله استاتیکی حل همانند نیز تیر ارتعاشی پاسخ آوردن بدست برای کوادراتور روش از استفاده با میگردد. استفاده دیفرانسیلی کوادراتور روش شد. خواهند تبدیل )4( روابط به و شده گسسته )6( روابط دیفرانسیلی CW N i Ni = 1+ θ cosθ + sinθ K K ij j i i i C U C N i Ni = 1+ θ sinθ + cosθ K K ij j i i i θ M = 0 ij j i C M + Q = 0 ij j i ( sinθ + θ cosθ ) C N N ij j j j j j ( cosθ θ sinθ ) ij j j j j j i + C Q Q = Ω W ( cosθ θ sinθ ) C N N ij j j j j j Cij ( Qj sinθj + Qjθj cosθj ) = Ω Ui ریاضی تناقض دینامیکی روابط حل در آنکه برای استاتیکی حل مشابه برای باشد برابر مجهوالت تعداد با معادالت تعداد و نیامده بوجود روابط باقی برای lو i -1 ) 4 (ا روابط ششم و پنجم اول روابط مقادیر حاکم دینامیکی روابط گسستهسازی از پس میباشد. l1 i جایگذاری دینامیکی شده گسسته معادالت در تعادل حالت از آمده بدست صورت به ویژه مقادیر با معادالت دستگاه یک مرزی شرایط همراه به و غیراستاندارد ویژه مقدار مسئله یک که میدهند تشکیل را )5( رابطه میباشد. A11 A1 X 1 O O X 1 A 1 A = Ω X O I X X 1 بردار یباشند. م واحد ماتریس I و صفر ماتریس O رابطه این در و x راستاهای در تیر هر مرزی دقت نقاط جابجاییهای مقادیر شامل ممان و برشی و محوری نیروهای چرخش زوایای مقادیر همچنین و y جابجاییهای مقادیر شامل X جابجایی بردار میباشد. دقت نقاط خمشی ( i) ( i) K u = λp F( x ) ( i+ 1) ( i) x =x + u ( m ) λ λ () i λ λ m () i u 1 i II u λ u m + 1 I i + 1 بار ضريب و جابجايي بردار لکششکشتغييرات بار مرحله يك طول در ( i) m ( i) x = x + u ( i+ 1) m ( i) x = x + u + u ( i+ 1) m ( i) i ( i) T II ( a ) ( u ). u λ = ( i) T ( i) T I λ P. P + ( u ). u i ( i) T ( i) ( i) T a = ( u ).( u ) + ( λ ) P. P l x 75 1394 زمستان شماره 47 دوره مکانیک مهندسی - امیرکبیر ی علمی نشریه
کمانهشده تیر آزاد ارتعاشات تجربي و عددي تحليل و A 11 ماتریسهای میباشد. y و x راستاهای در تیر هر داخلی دقت نقاط شرایط معادالت و )4( روابط چهارم تا اول معادالت ضرایب شامل A 1 ششم و پنجم معادالت ضرایب شامل A و A 1 ماتریسهای و مرزی به میتوان را استاندارد ویژه مقدار مسئله ادامه در یشوند. م )4( روابط آورد. )6( رابطه صورت 1 A A1 A11 A 1 X = Ω X متناظر مودهای شکل و کمانهشده تیر بیبعد فرکانسهای آن حل از که آمد. خواهند بدست آنها تجربی سازی 5-5 مدل تجربی مدلسازی به شده ارائه روش درستی بررسی برای بخش این در زا کمانهشده تیر طبیعی سهای فرکان اندازهگیری برای میشود. پرداخته با تیرهایی از آزمايش انجام برای میشود. استفاده تجربی مودال آزمون تیرها مکانیکی مشخصات و ابعاد گردید. استفاده کلراید وینل پلی جنس شدهاند. آورده 1 جدول در مدول و شده استفاده تیر از تکهای حجم به جرم نسبت از چگالی محاسبه برای است. آمده بدست آزاد سر دو تیر تجربی طبیعی سهای فرکان کمک به یانگ ود تکیهگاه از کمانهشده تیر تجربی طبیعی فرکانسهای اندازهگیری برای که همانطور منظور این برای است. شده استفاده مفصل سر دو و گیردار سر شد. داده قرار گیره دو بین نظر مورد تیر یشود م مشاهده 3 شکل در مودال تحلیل از کمانهشده( )تیر سازه طبیعی سهای فرکان اندازهگیری برای چکش شامل آزمایشگاه در استفاده مورد دستگاه یشود. م گرفته بهره تجربی سازه تحریک منظور به چکش از است. سیگنال لگر تحلی و بسنج شتا یباشد. م AU0 نوع 3 تست گلوبال استفاده مورد چکش یگردد. م استفاده اندازهگیری بسنج شتا حسگر توسط تحریک از آمده بوجود لهای سیگنا است. شده استفاده B&K4516 سنج شتاب از آزمایش این در یشوند. م لهای سیگنا شد. استفاده واکس از تیر به شتابسنج مناسب اتصال برای لگر تحلی وارد فرکانس حوزه به زمان حوزه از تبدیل برای شده اندازهگیری سهای فرکان لها سیگنا این بر سریع فوریه تبدیل اعمال با یشوند. م سیگنال وظیفه پالس مافزار نر یگردند. م اندازهگیری پالس مافزار نر کمک به سیستم سهای فرکان دارد. عهده به را لها سیگنا نمایش و آزمایش انجام کنترل باشد. بیشینه نوسان دامنه که یشوند م مشخص جایی در سیستم طبیعی 6-6 نتایج هندسی نقص مقداری دارای تیر که است شده فرض این در تیر کمانشی مود شکل از ضریبی بصورت هندسی نقص مقدار میباشد. سر دو تیر مسئله در هندسی نقص اعمال برای است. شده گرفته نظر در است شده استفاده )8( و )7( روابط از ترتیب به مفصل سر دو و گیردار.]1[ تمامی برای هندسی نقص دامنه میباشد. هندسی نقص دامنه W 0 که است. شده گرفته نظر در 0/001 تیرها 1 W = 0 ( 1 cos( )) W πs l W = W 0 sin ( πs l) شماره تیر تیرها مکانیکی مشخصات و لودججدجابعاد طول طبیعی فرکانسهای همگرایی بر دقت نقاط تعداد 6-66-6 تاثیر همگرایی بر معادالت گسستهسازی برای شده برده بکار دقت نقاط تعداد تعداد تاثیر 4 شکل میگذارد. تاثیر کمانهشده تیر طبیعی فرکانسهای سر دو کمانهشده تیر اول طبیعی فرکانس چهار همگرایی بر را دقت نقاط همانطور میباشد. بحرانی بار برابر 1/ بار تحت تیر میدهد. نشان گیردار دقت نقطه 17 با طبیعی فرکانسهای میشود مشاهده شکل این در که میشوند. همگرا بودن مشابه به توجه با و شده بررسی نیز مفصل سر دو تیر برای اثر این این بررسی در میگردد. استفاده دقت نقطه 17 از این در نتایج است. شده استفاده 3 شماره تیر مشخصات از اثر عددی سنجی 6-66-6 صحت نتایج با عددی طبیعی فرکانسهای مقایسه 3 و جدولهای نشان مفصل سر دو و گیردار سر دو تیر برای بترتیب را محدود اجزاء روش است. شده انجام بحرانی بار ضریب متفاوت مقادیر برای مقایسه این میدهند. است. شده استفاده 3 شماره تیر مکانیکی مشخصات از عددی بررسی برای 3 Global Tst )mm( عرض )mm( ضخامت )mm( چگالی )Kg/m 3 ( یانگ مدول آزمایشگاه. در کمانهشده لکششکشتیر مفصل دوسر تیر پایین( سرگیردار دو تیر باال( )GPa( 3/7 3/7 3/7 1400 1400 1400 10 10 10 0 5 5 775 895 1000 1 3 1394 زمستان شماره 47 دوره مکانیک مهندسی - امیرکبیر ی علمی نشریه 76
مرادی شاپور مقدم جمشیدی پیمان چهار همگرایی در دقت نقاط لکششکشاثر اول طبیعی فرکانس 500 با و نرمافزار در تیر محدود اجزاء روش به سازی مدل برای جداول این از که همانگونه است. شده مدل BEAM189 نوع از المان نتایج به دیفرانسیلی کوادراتور روش توسط آمده بدست نتایج میشود دیده که بگونهای بوده نزدیک بسیار افزار نرم توسط آمده بدست که است حالی در این است. 0/4 روش دو این بین حداکثر دقت نقطه 17 با تنها دیفرانسیلی کوادراتور روش از آمده بدست نتایج است. آمده بدست تجربی و عددی طبیعی فرکانسهای 6-66-6 مقایسه عددی طبیعی فرکانسهای مقایسه 5 و 4 جدولهای مفصل سر دو و گیردار سر دو تیر برای بترتیب را تجربی دادههای با انجام انتهایی کوتاهشدگی متفاوت مقادیر برای مقایسه این میدهد. نشان بار افزایش با تیر طبیعی فرکانسهای تغییرات به توجه با است. شده فرکانس از اصلی فرکانس مقدار که میگردد مشاهده 9( و 5 )شکلهای سه اندازهگیری به توجه با رو این از میگردد. بیشتر باالتر مودهای برخی چهارم و دوم اول فرکانسهای 4 جدول آزمایشگاه در کوچکتر فرکانس همانطور میدهند. نشان را چهارم و سوم دوم فرکانسهای 5 جدول و کوادراتور روش توسط شده محاسبه حداکثر میشود دیده که دو و گیردار سر دو تیرهای برای تجربی مقادیر به نسبت دیفرانسیلی دقت از نشان که میباشد 1/4 و /4 از کمتر ترتیب به مفصل سر دارد. شده ارائه روش باالی گیردار سر دو 6-66-6 تیر افزایش با را گیردار سر دو تیر اول طبیعی فرکانس چهار تغییرات 5 شکل شکل چهار به مربوط آزاد ارتعاش و تعادل حالتهای میدهد. نشان بار 7 و 6 شکلهای در ترتیب به تیر کمانش پس و کمانش از قبل اول مود شدهاند. داده نشان گیردار سر دو تیر برای افزار نرم نتایج با شده ارائه روش عددی طبیعی فرکانسهای لودججدجمقایسه ضریب )هرتز( اول فرکانس )هرتز( دوم فرکانس )هرتز( سوم فرکانس )هرتز( چهارم فرکانس بار بحرانی 0/14 84/854 84/673 0/110 146/998 146/837 0/03 30/905 30/898 0/114 59/30 59/97 1/ 0/039 70/433 70/406 0/047 16/06 16/00 0/114 6/550 6/519 0/086 6/637 6/691 1/4 0/118 65/740 65/817 0/105 113/379 113/61 0/401 1/171 1/086 0/001 65/49 65/49 1/6 سرمفصل دو تیر برای افزار نرم نتایج با شده ارائه روش عددی طبیعی فرکانسهای لودججدجمقایسه ضریب )هرتز( اول فرکانس )هرتز( دوم فرکانس )هرتز( سوم فرکانس )هرتز( چهارم فرکانس بار بحرانی 0/008 106/779 106/788 0/075 54/787 54/746 0/317 17/169 17/114 0/391 654/195 656/750 1/ 0/019 101/514 101/533 0/049 49/409 49/385 0/55 1/91 1/60 0/134 837/807 838/930 1/4 0/01 97/53 97/544 0/040 45/4 45/404 0/65 8/874 8/851 0/074 939/691 940/38 1/6 77 1394 زمستان شماره 47 دوره مکانیک مهندسی - امیرکبیر ی علمی نشریه
کمانهشده تیر آزاد ارتعاشات تجربي و عددي تحليل گیردار سر دو تیر تجربی دادههای با عددی طبیعی فرکانسهای لودججدجمقایسه )هرتز( اول فرکانس )هرتز( دوم فرکانس )هرتز( چهارم فرکانس شماره تیر کوتاهشدگی بار ضریب بحرانی تجربی تجربی تجربی )mm( انتهایی /86 175/438 171/47 1/843 55/06 54/048 /49 97/500 95/131 1/088 130 1 مفصل سر دو تیر تجربی دادههای با عددی طبیعی فرکانسهای لودججدجمقایسه )هرتز( دوم فرکانس )هرتز( سوم فرکانس )هرتز( چهارم فرکانس شماره تیر کوتاهشدگی بار ضریب بحرانی تجربی تجربی تجربی )mm( انتهایی 0/763 136/900 137/945 0/064 73/130 73/177 0/533 6/380 6/39 1/088 150 0/968 110/840 109/767 1/096 58/490 57/849 0/699 0/350 0/08 1/109 00 0/17 107/70 107/487 0/61 55/811 55/470 1/71 18/04 17/813 1/177 300 3 1/385 106/640 105/163 1/09 53/65 53/073 0/743 15/66 15/546 1/56 400 و 0/5 ترتیب به کمانش پس و کمانش از قبل بار مقدار شكلها اين در میشود دیده شکلها از که همانگونه میباشد. تیر بحرانی بار برابر 1/5 است حالی در این است. کششی-خمشی متقارن مود اولین اول مود شکل چهارم و سوم مودهای شکل و خمشی ضدمتقارن مود اولین دوم مود که هستند. خمشی ضدمتقارن مود سومین و متقارن مود دومین ترتیب به مییابد افزایش کمانش بار تا صفر از فشاری بار هنگامیکه 5 شکل در کاهش آرامی به طبیعی فرکانسهای همه تیر سختی کاهش علت به کمانش از بعد بالفاصله فرد فرکانسهای به مربوط مییابند.منحنیهای مییابند. کاهش مقداری زوج مودهای حالیکه در یافته زیادی افزایش بار افزایش با اول طبیعی فرکانس چهار لکششکشتغییرات کاهش علت به و گرفته قرار بزرگ جابجاییهای تحت تیر کمانش از پس کاهش بار افزایش با چهارم تا دوم طبیعی فرکانسهای خمشی سختی کمانش از پس بالفاصله اصلی طبیعی فرکانس همچنین مییابند. این میشود. زیاد آرام صورت به بار افزایش با آن مقدار و یافته افزایش آمده فائق خمشی سختی بر دینامیکی کششی سختی که است دلیل بدان است. غالب خمشی سختی مودها شکل سایر در حالیکه در است کمانش از پس و قبل که میگردد مشاهده 7 و 6 شکلهای به توجه با بدون ترتیب به چهارم و دوم اول فرکانسهای با متناظر شکلمودهای با متناظر مود شکل همچنین و میباشند گره سه و یک دارای گره شکل این کمانش از پس ولی داشته گره دو کمانش از قبل سوم فرکانس میگردد. گره چهار دارای مود برای بار افزایش با را گیردار سر دو تیر طبیعی فرکانسهای تغییرات 8 شکل مالحظه شکل این به توجه با میدهد. نشان هندسی نقص متفاوت دامنههای نقص دامنه تغییر به نسبت فرد مودهای شکل با متناظر فرکانسهای که میگردد برای زوج مودهای شکل با متناظر فرکانسهای حالیکه در بوده حساس هندسی وقوع از بعد همچنین نمیکنند. چندانی تغییر هندسی نقص متفاوت دامنههای اثر این تیر بر وارد محوری نیروی شدن بیشتر با و )پسکمانش( بزرگ تغییرشکل در و شده افزوده تیر انحنای کمانش از پس که است دلیل بدان این میرود. بین از شکلهای به توجه با این بر عالوه میباشد. ناچیز آن مقابل در هندسی نقص عمل برای که میگردد مشاهده سوم( و اول طبیعی )فرکانسهای 8 -ج و 8 -الف نقص دامنه مقدار بودن زیاد دلیل به بزرگ تغییرشکل وقوع از قبل W 0 01 ا/ 0 اl = مییابد. افزایش نیز فرکانسطبیعی بار افزایش با هندسی 1394 زمستان شماره 47 دوره مکانیک مهندسی - امیرکبیر ی علمی نشریه 78
مرادی شاپور مقدم جمشیدی پیمان مفصل سر دو 6-66-6 تیر با را مفصل سر دو تیر اول طبیعی فرکانس سیزده تغییرات 9 شکل وقوع از قبل که است مشخص شکل به توجه با میدهد. نشان بار افزایش از پس مییابند. کاهش بار افزایش با فرکانسها تمامی بزرگ تغییرشکل فرکانسهای تمامی بار افزایش با )پسکمانش( بزرگ شکل تغییر وقوع دو این و یافته کاهش یازدهم و اول طبیعی فرکانس از غیر به طبیعی میگردد مشاهده شکل این در که همانطور مییابند. افزایش فرکانس حساس تیر خمیدگی میزان و بار افزایش به شدت به اول طبیعی فرکانس اول طبیعی فرکانس مقدار تیر بحرانی بار برابر دو محوری بار برای و بوده میگردد. بیشتر نیز سیزدهم طبیعی فرکانس مقدار از )الف( )ب( )الف( )ج( )ب( )د( )ج( )د( کمانش از قبل ارتعاشی مودهای لکششکششکل ج( دوم فرکانس ب( اول فرکانس الف( )P/P ) 0/5 =اcr چهارم فرکانس د( سوم فرکانس کمانش از پس ارتعاشی مودهای لکششکششکل ج( دوم فرکانس ب( اول فرکانس الف( )P/P ) 1/5 =اcr چهارم فرکانس د( سوم فرکانس حالیکه در است کششی-خمشی متقارن مود اولین تیر اول مود شکل مود شکل دومین نیز یازدهم مود هستند. خمشی مودهای بعدی مود 9 کششی سختی کمانش از بعد که آنجا از است. کششی-خمشی ضدمتقارن فرکانسهای کند می غلبه خمشی سختی بر یازدهم و اول مودهای در یابند. می افزایش بار ازدیاد با مودها شکل این به مربوط کمانش پس اول مود شکل چهار به مربوط آزاد ارتعاش و تعادل حالت بار برابر 1/5 تیر بر وارده بار مقدار است. شده داده نشان 10 شکل در تیر ود تیر خالف بر میگردد مشخص شکلها به توجه با میباشد. بحرانی 79 1394 زمستان شماره 47 دوره مکانیک مهندسی - امیرکبیر ی علمی نشریه
تحليل عددي و تجربي ارتعاشات آزاد تیر کمانهشده )الف( )ب( )ج( )د( لکششکشتغییرات فرکانسهای طبیعی تیر دو سر گیردار با افزایش بار برای دامنههای متفاوت نقص هندسی. الف( فرکانس اول ب( فرکانس دوم ج( فرکانس سوم د( فرکانس چهارم سر گیردار پس از کمانش شکل مود متناظر با فرکانسهای اول تا چهارم به ترتیب بدون گره دارای یک دو و سه گره میباشند. شکل 11 تغییرات فرکانسهای طبیعی تیر را با افزایش بار برای دامنههای متفاوت نقص هندسی نشان میدهد. با توجه به این شکل مشخص است که فرکانس اول نسبت به تغییر دامنه نقص هندسی حساس است و فرکانسهای دوم تا چهارم برای دامنههای متفاوت نقص هندسی تغییر چندانی نمیکنند. بعد از وقوع تغییرشکل بزرگ )پسکمانش( و با بیشتر شدن نیروی محوری وارد بر تیر این اثر از بین میرود. لکششکشتغییرات فرکانسهای طبیعی تیر دو سر مفصل با افزایش بار نشریه علمی ی امیرکبیر - مهندسی مکانیک دوره 47 شماره زمستان 1394 80
پیمان جمشیدی مقدم شاپور مرادی )الف( )ب( )ج( )د( لکشکشکششکل مودهای ارتعاشی پس از کمانش ) 1/5 =اcr )P/P الف( فرکانس اول ب( فرکانس دوم ج( فرکانس سوم د( فرکانس چهارم لکشکشکشتغییرات فرکانسهای طبیعی تیر دو سر مفصل با افزایش بار برای دامنههای متفاوت نقص هندسی. الف( فرکانس اول ب( فرکانس دوم ج( فرکانس سوم د( فرکانس چهارم نشریه علمی ی امیرکبیر - مهندسی مکانیک دوره 47 شماره زمستان 1394 81
تحليل عددي و تجربي ارتعاشات آزاد تیر کمانهشده 8-8 مراجع [1] A. H. Nayfh; W. Krir; T.J. Anrson, Invstigation of natural frquncis an mo shaps of buckl bams, AIAA J., 33, Vol. 6, pp.111-116, 1995. [] B. P. Patl; M. Ganapathi; M. Touratir, Nonlinar fr flxural vibrations/post-buckling analysis of laminat orthotropic bams/columns on a two paramtr lastic founation, Composit structurs, Vol 46, pp. 189-196, 1999. [3] W. Lstari; S. Hanagu, Nonlinar vibration of buckl bams: som xact solutions, J. of solis an structurs, Vol 38, pp. 4741-4757, 001. [4] S. T. Santillan; L. N. Virgin; R. H. Plaut, Post-buckling an vibration of havy Bam on horizontal or inclin rigi founation, J. of appli mchanics, Vol 73, pp. 664-671, 006. [5] S. Nukirch; J. Frlat; A. Gorily; C. Maurini, Vibrations of post-buckl ros: Th singular inxtnsibl limit, J. of Soun an Vibrations,Vol 331, pp. 704-70, 01. [6] E. Rissnr, On on-imnsional finit-strain bam thory: th plan problm, J. of Appli Mathmatics an Physics, Vol 3, pp. 795-804, 197. [7] Y. J. Hua; Y. Y. Zhu; C. J. Chng, DQEM for larg formation analysis of structurs with iscontinuity conitions an initial isplacmnts, J. of Enginring Structurs, Vol 30, pp. 1473-1487, 008. [8] C. Shu, Application of iffrntial quaratur an its application in nginring, 1st ition, Vrlag Lonon, Springr, 000. [9] J. R. Quan; C. T. Chang, Nw insights in solving istribut systm of quations by quaraturmtho, J. of Comput Chm. Engng., Vol 13, pp. 1017-104, 1989. [10] B.W.R. For; S.F. Stimr, Improv Arc Lngth Orthogonality Mthos For Nonlinar Finit Elmnt Analysis, J. Of Computrs & Structurs, Vol 7, No. 5, pp. 65-630, 1987. [11] S.N. Al-rasby, Solution tchniqus in nonlinar structural analysis, J. of Computrs & Structurs, Vol 40, No. 4, 985-993, 1991. [1] S. Morai; F. Tahri, Postbuckling analysis of laminat composit bams by iffrntial quaratur mtho, J. of Composit Structurs, Vol 46, pp. 33-39, 1999. علت این امر نیز زیاد بودن انحنای تیر پسکمانهشده در مقابل نقص هندسی است. با توجه به شکل 11 -الف مشاهده میگردد که برای 01 ا/ 0 =ا 0 W قبل از وقوع تغییرشکل بزرگ به دلیل زیاد بودن مقدار دامنه نقص هندسی با افزایش بار فرکانسطبیعی نیز افزایش مییابد. 7-7 نتیجه گیری در این ارتعاشات آزاد تیر کمانهشده بررسی گردید. بدین منظور از معادالت دیفرانسیل حرکت در مختصات مماسی که یک دستگاه دیفرانسیل غیرخطی را تشکیل میدهند استفاده شد. پاسخ تیر بصورت مجموع پاسخهای استاتیکی و دینامیکی در نظر گرفته شد. برای حل دستگاه معادالت دیفرانسیل غیرخطی استاتیکی روابط با روش کوادراتور دیفرانسیلی گسسته شده سپس دستگاه معادالت جبری غیرخطی با روش طول قوس حل شد. با توجه به کوچک بودن دامنه حرکت ارتعاشات آزاد تیر نسبت به دامنه حرکت استاتیکی دستگاه معادالت دیفرانسیل حرکت ارتعاشی خطی شد. برای حل این دستگاه معادالت با روش کوادراتور دیفرانسیلی گسسته شده سپس مقادیر بدست آمده از حل روابط استاتیکی در دستگاه معادالت گسسته شده دینامیکی جایگذاری و با حل مسئله مقدار ویژه بدست آمده فرکانسهای تیر کمانهشده و شکل مودهای متناظر با آن بدست آمدند. برای بررسی درستی روش ارائه شده نتایج حاصل با نتایج بدست آمده از روش اجزاء محدود )به کمک نرم افزار ) مقایسه شد. عالوه بر این آزمایش تجربی بر روی تیرهایی از جنس پی وی سی انجام گرفت و فرکانسهای طبیعی آنها در حالت کمانهشده و تحت شرایط مرزی مختلف بدست آمد. مقایسه نتایج بدست آمده با نتایج روش اجزا محدود و دادههای تجربی نشان دهنده دقت بسیار خوب روش ارائه شده میباشد. از دیگر مزایای روش ارائه شده همگرایی با تعداد نقاط دقت کم و زمان محاسباتی پایین میباشد. همچنین اثر افزایش بار و اثر دامنه نقص هندسی بر فرکانسهای طبیعی بررسی شده و مشاهده گردید که پس از کمانش بین فرکانسهای طبیعی تیر پدیده تشدید اتفاق میافتد. عالوه بر این شکل مودهای ارتعاشی قبل و بعد از کمانش با یکدیگر مقایسه شده و مشخص گردید که برای تیر کمانهشده دو سر گیردار شکل مود متناظر با فرکانس دوم دارای چهار گره میباشد. نشریه علمی ی امیرکبیر - مهندسی مکانیک دوره 47 شماره زمستان 1394 8